拉格朗日乘数法

Lagrange multiplier method
适用于求解带有等式约束条件的优化问题

目标函数： $z = f (x, y)$
约束条件： $φ (x, y) = 0$

拉格朗日乘子：

\begin{array}{r} λ = - \frac{f_{x}}{φ_{x}} = - \frac{f_{y}}{φ_{y}} \end{array}

构造辅助函数：拉格朗日函数

\begin{array}{r} L (x, y) = f (x, y) + λ φ (x, y) \end{array}

拉格朗日函数的各个一阶偏导数与约束条件联立

{\begin{cases} L_{x} (x, y) = f_{x} (x, y) + λ φ_{x} (x, y) = 0 \\ L_{y} (x, y) = f_{y} (x, y) + λ φ_{y} (x, y) = 0 \\ φ (x, y) = 0 \end{cases}

由此方程组求得 $x, y, λ$ , 得到的 $(x, y)$ 是在约束条件下的可能的极值点

推广

自变量多于两个，条件多于一个的情形也可使用
根据约束条件构造拉格朗日函数，约束条件有几个，就设置几个拉格朗日乘子
约束条件和拉格朗日的各个一阶偏导联立，求得可能的极值

目标函数： $u = f (x, y, z, t)$
约束条件：

{\begin{cases} φ (x, y, z, t) = 0 \\ ψ (x, y, z, t) = 0 \end{cases}

构造拉格朗日函数：

\begin{array}{r} L (x, y, z, t) = f (x, y, z, t) + λ φ (x, y, z, t) + μ ψ (x, y, z, t) \end{array}

{\begin{cases} L_{x} (x, y, z, t) = 0 \\ L_{y} (x, y, z, t) = 0 \\ L_{z} (x, y, z, t) = 0 \\ L_{t} (x, y, z, t) = 0 \\ φ (x, y, z, t) = 0 \\ ψ (x, y, z, t) = 0 \end{cases}